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los puntos p, n, m son los puntos medianos de los segmentos ai, bi, ci, respectivamente.
the points p, n, m are the midpoints of the segments ai, bi, ci, respectively.

ahora, desde los puntos e y f son los circumcenters de los triángulos cia y aib, los dos mentira en el bisector perpendicular del segmento ai. por lo tanto, la línea ef es el bisector perpendicular del segmento ai. semejantemente, las líneas fd y el de son los bisectors perpendiculares del bi de los segmentos y del ci.
now, since the points e and f are the circumcenters of triangles cia and aib, both of them lie on the perpendicular bisector of the segment ai. hence, the line ef is the perpendicular bisector of the segment ai. similarly, the lines fd and de are the perpendicular bisectors of the segments bi and ci.