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la forma representada de la sombra, que aparece tridimensional, revela un dodecahedron enscribido en una esfera.
the form represented from the shadow, that it appears three-dimensional, reveals a dodecahedron inscribed in a sphere.

el dodecahedron tiene tres pentágonos el venir junto en cada cima, que tiene así un déficit angular de π/5.
the dodecahedron has three pentagons coming together at each vertex, which thus has an angular deficit of π/5.

los sólido platónicos son los mismos los poliedros regulares, llamadas también figuras cósmicas cerca de los pitagóricos, era las que atribuyeron al dodecahedron una importancia fundamental.
the platonic solid ones are the so-called poliedri regular ones, that were calls also cosmic figures, near the pythagoreans, that they attributed to the dodecahedron a fundamental importance.

el número de cimas de un dodecahedron es 20 así que la contribución de cada uno al integral de la curvatura es 4π/20=π/5.
the number of vertices of a dodecahedron is 20 so the contribution of each to the curvature integral is 4π/20=π/5.

iamblico: " de ippaso el dice que estaba de los pitagóricos, pero que para haber divulgado para primero la construcción de la esfera de doce pentágonos, falleció en el mar como irriverente; y sin embargo la gloria seguía siendo sobre él como inventor… él que por primero habia divulgado la naturaleza de las medidas proporcionales mensurable y inmensurable a los no digno de participar a tales cognitions… él que falleció, de hecho, como irreverente en el mar él que reveló como s' inscribe en la esfera el icosahedron, de que es el dodecahedron, una de las cinco figuras dichas " del sólido…;
iamblico: " of ippaso one tells that it was of the pythagoreans, but that in order to have disclosed for first the construction of the sphere of twelve pentagons, it perished in sea as an irreverent; and however the glory remained to him about it as inventor… he who for first disclosed the nature of the commensurable and immeasurable largenesses at the unworthy to participate to such cognitions… he perished, in fact, as an irreverent in sea he who revealed the form to inscribe in the sphere the icosahedron, that is the dodecahedron, one of the five said figures solid… "