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comutativo
commutative

anel comutativo
cring

assim , por definição, qualquer corpo é um anel comutativo.
therefore, by definition, any field is a commutative ring.

a composição de morfismos é normalmente representadapor um diagrama comutativo.
the composition of morphisms is often represented by a commutative diagram.

como a multiplicação de inteiros é comutativa, este é um anel comutativo.
as the multiplication of integers is a commutative operation, this is a commutative ring.

condições mais gerais que garantem que um anel é comutativo também são conhecidas.
more general conditions which guarantee commutativity of a ring are also known.

== caso não comutativo ==em um anel genérico, a multiplicação não é comutativa.
an element of a ring that is not a zero divisor is called regular, or a non-zero-divisor.

em matemática, mais especificamente em álgebra, um anel comutativo é um anel em que a multiplicação é comutativa.
in ring theory, a branch of abstract algebra, a commutative ring is a ring in which the multiplication operation is commutative.

== casos particulares ==* se a multiplicação é comutativa, temos um "anel comutativo".
an example of a non-commutative ring is the ring of square matrices of the same size.

caso formula_1 seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita.
a subset "i" is said to be a two-sided ideal or simply ideal if it is both a left ideal and right ideal.

== propriedades ==pelo teorema de wedderburn, cada anel de divisão finito é comutativo, e portanto é um corpo finito.
==properties==by wedderburn's theorem, every finite division ring is commutative, and therefore a finite field.

É sabido que para um anel comutativo formula_8 se todo ideal primo for finitamente gerado, então formula_3 é noetheriano.
for a commutative ring to be noetherian it suffices that every prime ideal of the ring is finitely generated.

dado um diagrama comutativo, a prova por procura por diagrama envolve a utilização das propriedade do diagrama, tais como mapeamento injectivo, sobrejectivo, ou sequências exactas.
given a commutative diagram, a proof by diagram chasing involves the formal use of the properties of the diagram, such as injective or surjective maps, or exact sequences.

a soma e a intersecção de ideais também é um ideal; com essas duas operações como supremo e ínfimo, o conjunto de todos os ideais de um anel comutativo forma um reticulado.
the sum and the intersection of ideals is again an ideal; with these two operations as join and meet, the set of all ideals of a given ring forms a complete modular lattice.

=== primeiros exemplos ===um exemplo importante, e em certo sentido crucial, é o anel dos números inteiros é comutativo z com as operações de adição e multiplicação.
===first examples===an important example, and in some sense crucial, is the ring of integers z with the two operations of addition and multiplication.

também é conhecido que um anel comutativo é artiniano se, e só se, ele é noetheriano e tem dimensão zero (ou seja, todos os seus ideais primos são maximais).
it is also known that a commutative ring is artinian if and only if it is noetherian and zero-dimensional (i.e., all its prime ideals are maximal).

justiça comutativa
commutative justice calling for equivalent performances by the parties