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em matemática, mais especificamente em álgebra, um anel comutativo é um anel em que a multiplicação é comutativa.
in ring theory, a branch of abstract algebra, a commutative ring is a ring in which the multiplication operation is commutative.
== casos particulares ==* se a multiplicação é comutativa, temos um "anel comutativo".
an example of a non-commutative ring is the ring of square matrices of the same size.
caso formula_1 seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita.
a subset "i" is said to be a two-sided ideal or simply ideal if it is both a left ideal and right ideal.
== propriedades ==pelo teorema de wedderburn, cada anel de divisão finito é comutativo, e portanto é um corpo finito.
==properties==by wedderburn's theorem, every finite division ring is commutative, and therefore a finite field.
É sabido que para um anel comutativo formula_8 se todo ideal primo for finitamente gerado, então formula_3 é noetheriano.
for a commutative ring to be noetherian it suffices that every prime ideal of the ring is finitely generated.
dado um diagrama comutativo, a prova por procura por diagrama envolve a utilização das propriedade do diagrama, tais como mapeamento injectivo, sobrejectivo, ou sequências exactas.
given a commutative diagram, a proof by diagram chasing involves the formal use of the properties of the diagram, such as injective or surjective maps, or exact sequences.
a soma e a intersecção de ideais também é um ideal; com essas duas operações como supremo e ínfimo, o conjunto de todos os ideais de um anel comutativo forma um reticulado.
the sum and the intersection of ideals is again an ideal; with these two operations as join and meet, the set of all ideals of a given ring forms a complete modular lattice.
=== primeiros exemplos ===um exemplo importante, e em certo sentido crucial, é o anel dos números inteiros é comutativo z com as operações de adição e multiplicação.
===first examples===an important example, and in some sense crucial, is the ring of integers z with the two operations of addition and multiplication.
também é conhecido que um anel comutativo é artiniano se, e só se, ele é noetheriano e tem dimensão zero (ou seja, todos os seus ideais primos são maximais).
it is also known that a commutative ring is artinian if and only if it is noetherian and zero-dimensional (i.e., all its prime ideals are maximal).